LAS LEYES DE GAUSS (Alcances y limitaciones) by lorenzor

stem-espanol · @lorenzor · Mar 11 '18 (edited)

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LAS LEYES DE GAUSS (Alcances y limitaciones)

Hola amigos de Steemit,

<div class="text-justify">Gran parte de los fenómenos electromagnéticos se fundamentan en las leyes de Gauss, conocidas como la ley de Gauss de la electrostática y magnetismo. Sus aplicaciones en la electrostática han facilitado significativamente la obtención de campos eléctricos de una gran variedad de distribuciones de carga, los cuales resultan altamente complejos cuando son obtenidos a través del principio de superposición. La contribución de la ley de Gauss electrostática es sin duda una de las leyes más importantes del electromagnetismo que ha permitido el modelado y diseño de dispositivos, tales como condensadores, guías de ondas, líneas de transmisión, fibra óptica, etcétera, cuyos usos son esenciales para el funcionamiento de las actuales tecnologías.</div><br/>

<div class="text-justify">En el magnetismo la ley de Gauss tal como y la conocemos hasta ahora no nos permite, a diferencia del caso electrostático, obtener en forma directa los campos magnéticos de distribuciones  de  corriente al cual debe su origen. Este impedimento se debe a que la ley de Gauss del magnetismo esta  soportada en el hecho de que las cargas  magnéticas aisladas (monopolos) no existen. Pese a su carente utilidad en la obtención de campos magnéticos ha permitido  describir propiedades magnéticas observadas en la materia.</div><br/>

<div class="text-justify">En este artículo analizaremos los alcances de sus leyes y las actuales investigaciones que plantean, en el caso magnético, una posible reformulación de su ley. </div><br/>

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FUNDAMENTOS TEÓRICOS
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<br/>

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LEY DE GAUSS DE LA ELECTROSTÁTICA
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<br/>

<div class="text-justify">La ley de Gauss establece una proporcionalidad directa entre la carga eléctrica encerrada por una superficie, conocida como carga interna, y el flujo total  “ Ψ ” originado por esta.</div><br/>  

<center>![](https://steemitimages.com/DQmfLjThRkhJUnMKxhUhh9Ki7xTPqSuWLKDQU3bQPRLgWCY/image.png)</center>
<center><em>Figura 1. [Flujo eléctrico](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gauss_Sphere_Charge_Inside.svg)</em></center>

Esta se expresa de la forma

<center>![](https://steemitimages.com/DQmQWpzGZ1oNPLAjBwmNFzSGHEufdgSC7rMagdL7fwjYf2k/image.png)</center>

<div class="text-justify">El término "Ψ" representa el flujo eléctrico total  a través de dicha superficie dado por la siguiente ecuación</div><br/>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmQdYXPzckTYbehpVFawfXTLqKb7U9Gd8izJHPtzV9ytqU/image.png)</center>

![](https://steemitimages.com/DQmdugSyQr2GMeBwoveunkHyaPyMyaQWa5yDZgxLQYhKPLU/image.png)
![](https://steemitimages.com/DQmVvz8LWRstBgUghxQnTHi8CFvvBjG5GTmBTZAcMYLt2Q4/image.png)

En el vacío el vector densidad de flujo está definido según la expresión

<center>![](https://steemitimages.com/DQmYC9Bvf49QiKQWToEqKjbmbiNFL1md2oKnEDr27WapQhE/image.png)</center>

![](https://steemitimages.com/DQmbyUZNNhtkwesysjQ1hu2t6JmBxSD9FKLZs6TM2QAEyyT/image.png)
![](https://steemitimages.com/DQmUfEBuxkmJSivi9U4VTC5Cp66Moo5uAtksrd5FH4hrwx9/image.png)

El círculo en el operador integral indica una superficie cerrada. 

<center>![](https://steemitimages.com/DQmQPQa7Pso4Mx2qrTcbNo1DjN6HeDRJE8bH4imdMgEpkMC/image.png)</center>

<div class="text-justify">De la ecuación (4) se deduce que el flujo total es cero en las regiones acotadas por superficies cerradas donde la sumatoria de las cargas contenidas se anule o esté ausente de carga.</div><br/>

<div class="text-justify">La aplicación práctica  de la ley de Gauss radica en la correcta  selección de una simetría adecuada donde el campo eléctrico sea constante, de tal forma que la integral de la ecuación (4) se simplifique en forma notable.</div><br/>

Las cargas eléctricas encerrada puede tener las siguientes configuraciones:

![](https://steemitimages.com/DQmVnHZQqZfgCtEWL2mH4x27XCrDgAvjJ86gvQpSoNW4okg/image.png)

![](https://steemitimages.com/DQmPhPwyasmpXA73DUnT6LnCfQEpB1moKLuMLjNKHkodtjd/image.png)

![](https://steemitimages.com/DQmaq4fwHL5H53wPMwGuxwpJq8fCHdz1CgpHLFRZfQ4t2oi/image.png)

![](https://steemitimages.com/DQmQv4v8eBEa3k6d5QBBWPSPxPzytQQVNZbYdVaCVGCK9MY/image.png)


Si consideramos el caso volumétrico la ecuación (1) se escribe de la forma

<center>![](https://steemitimages.com/DQmTmCNyAToVSkLnp34TUajdkUJTcPKfDZKKtwqnicC8dA3/image.png)</center>

Dado que el flujo a través de la superficie cerrada es el equivalente a decir que existe una divergencia de la densidad de campo eléctrico ![](https://steemitimages.com/DQmdxR4AHkvtBhcK6W5a7Z2N7irQA6khDkG1nPNbux5HwDV/image.png) en el volumen definido por dicha superficie, la ecuación (1) se puede expresar de la forma

<center>![](https://steemitimages.com/DQmW68wZXJMTz5aaKXwkiJB4PgbQvW4rXTAPKTwawdyZ5tc/image.png)</center>

Esta afirmación es conocida como el <em><b>teorema de la divergencia</b></em>.

Igualando  (10) con (9) se obtiene

<center>![](https://steemitimages.com/DQmUJTLHqDemYLkWNMd9S2R3pszMCPAmbBguqxdzhMVrGQ7/image.png)</center>

Donde  se observa que la ecuación (11) se satisface siempre que

<center>![](https://steemitimages.com/DQmSiU1Q3a7AFL2i8zPLgsWZbzntnzEf2rvSu6UvRov7Phh/image.png)</center>

Esta es una forma alternativa de la ley de Gauss conocida como forma diferencial la cual muestra, al igual que la ecuación (1), que la divergencia del campo  "![](https://steemitimages.com/DQmSU2YiCG5eXqb24pFKqzmmDXkCoiSBbPddFCoKcnh8XbE/image.png)"  tiene su origen en una fuente de carga "![](https://steemitimages.com/DQmTWEm6QLzm7RhxDBnWqUvB4BNuUuhKx6eYdBY4CfgGBHE/image.png)".

<div class="text-justify">La divergencia dada por la ecuación (12) determina la naturaleza eléctrica de la fuente (ver Figura 2).</div><br/>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmUUCyZgQu9fEbAZd1dFCDYxYJWrcty6RCUWXfaXYGMDVk/image.png) <b>Líneas de campo que salen</b></center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmZPE9roDAxJbLQs7GWrDEcMUFVxd9BjhkR5QyCtNNMccZ/image.png) <b>Líneas de campo que entran</b></center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmbAoD5rctK2F6YA7mx3vY4q1pCWu2iy4H1jzVxM5FasU3/image.png)</center>
<center><em>Figura 2. [Fuentes y sumideros](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cargas3.PNG)</em></center>

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APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS ELECTROSTÁTICA
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<br/>

<div class="text-justify">Una de las contribuciones más importantes de la ley de Gauss electrostática es el cálculo de campos eléctricos confinados en dispositivos conocidos como condensadores, éstos actúan como almacenadores de carga y energía y son de gran utilidad en cualquier circuito eléctrico simple o complejo.</div><br/>

<div class="text-justify">La diferencia de potencial aplicada y la carga están relacionadas por una constante conocida como la <em><b>capacidad eléctrica</b></em> dada por la ecuación (13)</div><br/>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmPz2oaCiDGqkYgcQpctE3reJhrRnLLXFKkDTf2hiFfHDJ/image.png)</center>

![](https://steemitimages.com/DQmTjyz97vvxqY2jfpnGvie4sAApTVAgYF5NAbMyMnirsXa/image.png)

![](https://steemitimages.com/DQmU2iCfppHc4VhM5QMWswDsxGy63X8FQWBgtECUDYQnkvF/image.png)

<div class="text-justify">Donde la diferencia de potencial entre dos puntos A y B está dada por la expresión</div><br/>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmPvZ4AodV6gBPSmihx2AtaZYUg2SyryHKVT91W8w5gyEa/image.png)</center>

<div class="text-justify">La diferencia de potencial "∆V" dada por la ecuación (14) es una función del campo eléctrico el cual es determinado por la ecuación (4) para las distintas configuraciones de condensadores.</div><br/>

<div class="text-justify">En la figura (3) y (4) se observan las configuraciones más comunes donde la ley de Gauss conduce a la obtención de la capacitancia.</div><br/>

-------------------
CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS
------------------

<center>![](https://steemitimages.com/DQmV49cXv3Xxs97HJxyzop1Z9Wdz4zcDnnUgitkTJdQvqug/image.png)</center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmSQeqDFp2mE4wWrdJpKKDTmy438xyUHFEQskrdU54mCDg/image.png)</center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmSCpEpkbx4EWKLrsPq6Z2aTwjMMrqt3kgJnDr5jDShDoZ/image.png)</center>

![](https://steemitimages.com/DQmfJEbCwtY8dGdPoyETZ5ER5Lvff7iXx3wz3UXCULPRNc1/image.png)

![](https://steemitimages.com/DQmZbsp8znNHjogR36RojaB92HkAeyX4YouqcWvnQLVG7zH/image.png)

<center>![](https://steemitimages.com/DQmeLpXHihDSyxqEqSRcKX7V3umyrZ8wBFfVHDxW6oeVZ2h/image.png)</center>
<center><em>Figura 3. [Condensador  de placas paralelas](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Capacitor_plano.png)</em></center>

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CONDENSADOR CILÍNDRICO
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<center>![](https://steemitimages.com/DQmaDaWNbpyeRWNTLCLN8q8ELq9GLyHK9NhtmRmumbiond1/image.png)</center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmatyM84NnsBdi8KFLye3tBeHSrarvZf7JZt2HXWbAtxju/image.png)</center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmbWrKZz6VtRu12udRyGsTTV3KriW6AwuQAe5VwfroGr7J/image.png)</center>

![](https://steemitimages.com/DQmZ4DtT4orzZB2Me4iFnGKaEeaK4Szt2HrfWhA5hHhEfr1/image.png)

![](https://steemitimages.com/DQmUUBXZddBdrdezYLLikYP8iY8bzi1Nk4qraA1DsVmuDL8/image.png)

<center>![](https://steemitimages.com/DQmS9GJTF4TPhPxrUEkGiPHniJQjuzrCFpBD2QR1MmS5n4T/image.png)</center>
<center><em>Figura 4. [Condensador cilíndrico](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cylindrical_CapacitorII.svg)</em></center>

Otra de las aplicaciones de importancia de la ley de Gauss es la obtención de las Ecuaciones de [Poisson](https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson) y [Laplace](https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplace), las cuales permiten determinar la distribución del potencial eléctrico. Éstas son derivadas  a partir del gradiente negativo del potencial eléctrico y la forma diferencial de la ley de Gauss. 

Dado que          

<center>![](https://steemitimages.com/DQmbF8BD6rBTkurh551jYxP3yDG5LRCg2LjYLCoHA7J9UeF/image.png) y según ![](https://steemitimages.com/DQmSkA7jZLFzzB3p1GM1JhwcCzKQCnUPQnqE48NjfqJpcHG/image.png)</center>

Se obtiene

<center><b>Ecuación de Poisson</b></center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmXoogupvrspYk9dzDGY8zt8WTRhjjW4zKhNGQo9gi2d2P/image.png)</center>

![](https://steemitimages.com/DQmdrP66bhXoRZngN2AWh8j6VjfYfGpPmc17sjgaadUSCrC/image.png)

<center><b>Ecuación de Laplace</b></center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmc2XZE8yR2TzF1KbZATW42qTtUb3AUrpHc6mfupref5Ps/image.png)</center>

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LEY DE GAUSS DEL MAGNETISMO
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<br/>
<div class="text-justify">De acuerdo a las observaciones experimentales en el caso magnético la ley de Gauss se expresa de la forma.</div><br/>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmNmVZtZXFbweNGwBpHSFHW8BEfmxVM5Emf56byE6Mmz8a/image.png)</center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmW5SKwNoLGf9AuEPZuBYnjra8gvvDEF9rPG4gY5unbABA/image.png)</center>

<div class="text-justify">Esta ley del magnetismo de Gauss se fundamenta en el hecho de que las cargas magnéticas no se presentan de forma aislada, es decir no encontramos un imán que posea un norte separado del sur lo cual implica que las líneas de campo salientes y entrantes generan un flujo total nulo a través de la superficie que encierra la fuente.</div><br/>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmR8HnYMVL1oqz3DBfyAnmBzRn7Vhz7uGoKRkRuRqnLZjG/image.png)</center> 
<center><em>Figura 5. [Líneas de flujo magnético sobre una superficie cerrada](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:GaussLaw4.svg)</em></center>

<center>![](https://steemitimages.com/DQmcFcPq7rMxoC8DZpsQoNGyE3mmUHRyFeRW1YHRsUpPf2x/image.png)</center>
<center><em>Figura 6. [Líneas de flujo magnético de un imán](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_cylindrical_magnet_thumb.svg)</em></center>

La forma en la que se nos presenta esta ley del magnetismo impide determinar el campo magnético para cualquier configuración, tal y como se realiza en el caso electrostático, por lo que se utiliza la [ley de Ampere](https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Amp%C3%A8re) para el cálculo de campos magnéticos de distribuciones de corriente en la que en cierta medida sigue un procedimiento similar a la ley de Gauss de la electrostática.

Algunas teorías han surgido sobre la existencia de cargas magnéticas como la planteada por [Dirac en 1931](http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/dirac1931.pdf). En su artículo, Dirac encuentra que la cuantizacion de la carga eléctrica puede explicarse con la existencia de un monopolo. Su teoría sugiere una ley de Gauss modificada en la que se introducen los parámetros densidad de carga magnética y densidad de corriente magnética asociados a la supuesta existencia de un monopolo.

<center>![](https://steemitimages.com/DQmQhdhN6jNfj2vB5QB8A8z9uTJwr73PMH81Gavwv3b1DYi/image.png)</center>

<div class="text-justify">La comprobación experimental que valide lo teorizado por  Dirac  se encuentra en marcha. El consejo europeo para la investigación nuclear  conocido como CERN por sus siglas en francés (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) aprobó el experimento MoEDAL (Monopoles y Exotics Detector At LHC), en el que uno de sus objetivos es la detección de estas partículas.</div><br/>

Por ahora la validez de la ecuación de Gauss del magnetismo sigue vigente a la espera de resultados experimentales  que exijan una ley modificada de Gauss, y por ende de ecuaciones fundamentales del electromagnetismo como las [Ecuaciones de Maxwell](https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell) de las cuales las leyes Gauss forman parte.

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Referencias
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* Introduction To Electromagnetic Fields Third Edition / Clayton R. Paul, Keith W. Whites, Syed A. Nasar
* Electrodinamica Clasica Segunda Edición / John David Jackson  
* Electromagnetismo Conceptos y Aplicaciones Cuarta Edición / Stanley V. Marshall, Richard E. DuBroff, Gabriel G. Skitek
* Física para ingeniería y ciencias Vol.2 Tercera Edición / Hans C. Ohanian, John T. Markert 
* [The MoEDAL experiment at the LHC: status and results](https://arxiv.org/abs/1703.07141)
* [The Monopole & Exotics Detector at the LHC](http://moedal.web.cern.ch/)

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@contentvoter · Mar 11 '18

$0.07

Thank you for your post. :) I have voted for you: &#127873;! To call me just write @contentvoter in a comment.

👍 tallfishinthesea, lorenzor, contentvoter

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@lorenzor · Mar 11 '18

Thanks, **contentvoter**, for reading, voting and commenting. I'll follow you.

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@jfermin70 · Mar 11 '18

Votao... buenas figuras, veré cómo consigo esa calidad...

👍 lorenzor

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@lorenzor · Mar 11 '18

Gracias @jfermin70 . Espero su nueva publicación.

👍 germanmontero

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@steemstem-bot · Mar 12 '18

$0.43

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👍 justtryme90

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@vjap55 · Mar 13 '18

Tu desarrollo es fenomenal , toda esta teoría    y fundamentos eléctricos sostienen todo el campo de las telecomunicaciones, de verdad que me ha gustado tu articulo , el análisis vectorial y de contorno es una de mis temas favoritos dentro del electromagnetismo , muy bien logrado !

👍 lorenzor

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@lorenzor · Mar 13 '18

Gracias @vjap55, ciertamente gran parte de los avances logrados en las telecomunicaciones se lo debemos a  estas leyes .

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@tomastonyperez · Mar 18 '18 (edited)

Excelente post @lorenzor
Mientras lo leía buscaba sus aplicaciones desde mi área de las ciencias biológicas y lo asocié inmediatamente con los potenciales de membranas celulares y el impulso nervioso en neuronas o fibra muscular, en donde los gradientes eléctricos determinan muchos de los comportamientos de las membranas plasmáticas. La membrana de una célula vista como un condensador biológico es algo que se comprende mejor, al leer tu artículo. Felicitaciones y éxitos.

👍 lorenzor

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@lorenzor · Mar 19 '18

Gracias @tomastonyperez,  las leyes de Gauss alcanzan distintas areas de la ciencia. La aplicacion que visualizas es una muestra de ello.

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@tsoldovieri · Mar 27 '18

Muy buen artículo amigo y colega @lorenzor. La Ley de Gauss es de gran importancia. También es usada en el estudio de los campos gravitacionales. 
¡Felicitaciones!
Saludos.

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@steemitboard · Mar 31 '18

Congratulations @lorenzor! You have completed some achievement on Steemit and have been rewarded with new badge(s) :

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