<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmYRW9EtjeJMyMoep4kdmUVoZio54YwxFGyeN1Zn3H2yVv/image.png)</center>

<div class="text-justify">En primer lugar mis saludos respetuosos para toda la comunidad de steemit, continuando con la temática geometría analítica plana,  en donde hemos dado importantes pasos para la comprensión analítica de las matemáticas, en esta oportunidad estudiaremos a la línea recta, algunas de sus distintas ecuaciones particulares y lugares geométricos, con la finalidad de poder obtener un aprendizaje aún más completo sobre esta importante figura geométrica. 
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Hasta ahora hemos realizado una serie de estudios de manera general con respecto a la construcción de una curva y su ecuación,  pero necesario es, iniciar con un análisis detallado que nos permita identificar las ecuaciones y los lugares geométricos de una determinada curva  específica, es decir, poder establecer propiedades particulares de ellas, entonces, analizaremos para nuestro propósito una serie de líneas tales como, recta, circunferencia, parábola, elipse, hipérbola, ya que son necesarias para el buen desempeño de cualquier persona  tanto en el ámbito académico como profesional, por lo tanto, en este artículo iniciaremos con el estudio de la primera de ellas, la línea recta, por considerar su ecuación la más sencilla pero fundamental para la comprensión de las otras curvas ya descritas.

# La línea recta
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Distancia más corta entre dos puntos, es quizás la definición más práctica y conocida por cualquier estudiante de una línea recta, la cual dicha definición claramente se apoya en el significado del término de distancia, pero al tratar de definir distancia, notamos que cualquier deducción nos lleva al punto de partida, por lo tanto, en geometría analítica, denominaremos línea recta a un determinado lugar geométrico formado por dos puntos diferentes cualesquiera correspondiente a  dicho lugar geométrico, es decir, P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2), y en donde el valor de su pendiente (m) será calculado por medio de la fórmula:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmV86Ccmgh6n4LBZdiZpYSQNHQL5zQS1fyekjts5JWysDa/image.png)</center>

Comenzaremos con la determinación de las ecuaciones para una línea recta, según sean las características dadas:

# 1.- Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
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En términos geométricos, una  recta puede determinarse conociendo  un de sus puntos y su orientación o dirección, por lo tanto, de forma analítica la ecuación de esta recta según las  características antes descritas, perfectamente puede ser determinada al conocer las coordenadas de dicho punto, así como su ángulo de inclinación y con ello su pendiente, entonces podemos decir,  la recta que pasa por un punto dado cualesquiera, es decir, P1(x1,y1), y también conocida su pendiente (m), tendrá como ecuación:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmbPEt2btLePWBB7ry3sRsjG5Zb1mktcnCXqenB67jcc34/image.png)</center>

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta la cual pasa por el punto (6  , -5) y presenta un ángulo de inclinación de 135°.

En primer lugar visualizamos el ángulo de inclinación dado, y por lo tanto, calculamos la pendiente de dicha recta: m= tg135°= -1.

Según nuestra ecuación (1), tenemos  que:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmd9mb3jKMQhMUVY5qWPshzxcUuxRKZ8aSKnKFJ7vVnjy3/image.png)</center>

Ahora la representación gráfica de dicha ecuación:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmUPZDcmySKjYvXdpE5pyfdAwSN8hmd9ppD69AsYj7NDdc/image.png)</center>

# 2.- Otras formas para la ecuación de una recta
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Una determinada recta siempre será paralela o no al eje de las Y, cuando nos encontramos con una que sea paralela a dicho eje, tenemos que su ecuación es  X = k, pero sí al contrario no es paralela a dicho eje Y, entonces, su pendiente estará definida, y por lo tanto, su ecuación está dada según la fórmula (1). Esto nos lleva a expresar claramente que cualquier tipo de recta necesariamente entraría en estas dos clasificaciones, por lo tanto,  otra forma de la ecuación de una recta encontrada debe someterse, inevitablemente, a una de estas dos formas, más sin embargo, podemos encontrarnos con ciertos problemas en donde sea conveniente otras formas; por lo que es necesario considerar algunas de ellas.

# a.- Ecuación de una recta dada su pendiente y su ordenada en el origen
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Para este caso podemos considerar la siguiente figura en donde una recta t, cuya pendiente m es dada y con ordenada en el origen.

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmZwTY7HBztKkG73kKLvQ35SxMpDkVRZAbKfgGn762t2Gj/image.png)</center>

Notamos que su intercepción o corte con el eje Y es b, y como conocemos a b, este punto con coordenadas (0 , b) está sobre la recta, con esto, dicho planteamiento lo reducimos al hallar la ecuación de la recta que debe pasar por el punto (0 , b) y la cual tiene una pendiente dada, entonces, su ecuación es:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmcGUwHfAvS6M9vg7mLQDfVUJDM96cS6Tvs14BwNTCW97J/image.png)</center>

Esto nos lleva a expresar claramente, que  cuando tengamos una recta cuya pendiente sea m y su ordenada en el origen es b, dicha recta tendrá por ecuación  (2).  

# b.-  Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
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Para este caso podemos decir, que cualquier recta queda adecuadamente determinada por dos puntos perteneciente a  la misma, por lo tanto, en términos analíticos la ecuación de dicha recta podrá también determinarse al conocer las coordenadas de dos puntos cualesquiera perteneciente a dicha recta, entonces, la recta que pase por dos puntos dados, es decir, P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) tendrá por ecuación: 

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmNS6ZM9FGeNZFa6ioa4hJr6qjGSnpvq818L7DBoGQUPfz/image.png)</center>

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmT9ojQDNfkppYd111yPj4fEUQos4tcaHzErubsbqLxLwh/image.png)</center>

# c.- Ecuación simétrica de la recta
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<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmUQwBVHvwUsngKKAzBfoyQ35RvbCAEojw5BdLVV975KWL/image.png)</center>

Analizando la anterior figura,  podemos observar claramente una recta y las coordenadas de dos puntos los cuales interceptan tanto al eje X como al Y, apreciamos que dicha recta determina segmentos sobre los ejes, entonces, cuando a ≠0 igualmente b ≠ 0, las coordenadas (a , 0) y (0 ,b)son dos puntos perteneciente a dicha recta, consecuentemente, la  obtención de la ecuación de esta recta se reduce al poder hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos , y así tenemos: 

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmNS6ZM9FGeNZFa6ioa4hJr6qjGSnpvq818L7DBoGQUPfz/image.png)</center>

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmNfcKAWREbAWYFr3XMqiRnv919iDHWqFrhS6DsKDsDbw4/image.png)</center>

Entonces una recta cuyas intercepciones o cortes con ambos ejes  X , Y  en donde  a ≠ 0 y b ≠ 0, respectivamente, tendrá por ecuación  (3).

# 3.- Forma general de la ecuación de la recta
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Tenemos que en el plano cartesiano la ecuación general de la recta, es de forma lineal como tenemos a continuación:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmdQWUb4wZJwB4kHFkk99RyvGaLGUUHQaTLNXhmkqWg4Uj/image.png)</center>

En donde los valores de los coeficientes de las variables deben ser distintos de cero, mientras el valor del término independiente C puede tomar o no el valor de cero , por lo tanto, llamaremos a la expresión algebraica (4) como la forma general de la ecuación de una determinada recta, es importante destacar que dicha ecuación lineal siempre representará una recta en el plano, para ello, analizaremos los siguientes aspectos en relación al coeficiente de la variable Y, por lo tanto, consideraremos dicha ecuación cuando B=0 y cuando B≠0.

Tenemos que cuando B=0, entonces A≠ 0 y con esto la ecuación queda de la siguiente manera:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmcdg5NT6RPCY53uVJPa6qT2NG8is5ZK3genU16KgRMWwP/image.png)</center>

Para el caso cuando B ≠ 0, al dividir a la ecuación (4) por B y despejando la variable (y), obtendríamos la siguiente ecuación:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmePaGdoybUoBBvwpSwDMpHoAvQDcNEiyZPK8wuuWvpPRU/image.png)</center>

Entonces podemos expresar, que una ecuación lineal (término apropiado para designar una expresión algebraica de primer grado) dada en las variables  x, y siempre significará una recta, de igual manera cualquier recta representará el lugar geométrico de una ecuación lineal, ejemplo.

Graficar  la siguiente ecuación lineal  5x –y + 8 =0, en primer lugar observamos que B≠0, entonces, tanto la pendiente como su la ordenado son:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmYDbCK2u3xzcSD3ZcZQyivaghCNTmqewPn9cpYxEPFrY3/image.png)</center>

Graficando la ecuación dada, con la ayuda de la aplicación GeoGebra tenemos la siguiente recta:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmXWRVGTDVX1VD5qyXERtKsCPm9amre5ipFRMahuvfbgZr/image.png)</center>

 # 4.- Posición relativa de dos rectas
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Para este caso consideraremos  dos rectas cuyas ecuaciones serán de la forma general antes descrita:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmZMVzm5BEPrwCjSUwup8nZKmMVnkvZdNMzaNPfKZmPd57/image.png)</center>

Para dichas rectas determinaremos los aspectos analíticos para las cuales ambas sean: a.- Paralelas;  b.- Perpendiculares;  c.- Coincidente;  d.- Secantes.

Para poder analizar estas características razonaremos las siguientes condiciones necesarias y suficientes, siendo B≠0:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmepeuKNoZoNmZmKWLLN6fRQXxFZS9sgW7F3LmQCz1TPj5/image.png)</center>

Es importante resaltar que ambas rectas deben cumplir con una sola condición a la vez, es decir, por ejemplo, no pueden haber un par de rectas paralelas y secantes al mismo tiempo y así sucesivamente con los otros aspectos antes señalados, por lo tanto, al determinar una  condición esa será la única para ambas rectas evaluadas, entonces, examinemos las ecuaciones de las siguientes rectas:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmbBaJcqTDfzUatxa5cV6bgwovDoG81WWcdeorSvEamcvV/image.png)</center>

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmcbmWhN3dS6pC3C8Zi7oW6hJE7vc586TUmXLBmi9W4UHM/image.png)</center>

Ahora observaremos la representación gráfica de ambas ecuaciones para comprobar lo antes analizado, utilizando la aplicación de GeoGebra tenemos:

<center>![](https://cdn.steemitimages.com/DQmd94Cd8rTJ1MgdiSHNFDBcgiaBNLG9EZNUM9ac8fw749f/image.png)</center>

# Conclusiones
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1.- Cualquier tipo de estudio, análisis o investigación, es necesario buscar e indagar desde las raíces de dicho planteamiento,  por lo tanto, al pretender  obtener un conocimiento mucho más dilatado de todas las curvas en cuando a la determinación tanto de su ecuación como de su lugar geométrico, es vital conocer los fundamentos aplicados a la línea recta, esa es la raíz al conocimiento de cualquier tipo de curva.

2.- En esta publicación pudimos desarrollar desde el punto de vista de la geometría analítica plana, el carácter interpretativo conceptual de varias de las ecuaciones y lugares geométricos de la línea recta, en donde,  analizamos y determinamos varias  ecuaciones  de la recta, entre ellas, la que pasa por un punto y tiene una pendiente dada,  conociendo su pendiente y su ordenada en el origen, la que pasa por dos puntos, de igual forma la ecuación simétrica de la recta, forma general de la ecuación de la recta, Posición relativa de dos rectas, todo esto con la finalidad de fortalecer y profundizar el entendimiento analítico en el plano de las distintas ecuaciones que serán útiles y necesarias para el aprendizaje de cualquier curva tanto en el plano cartesiano como en el espacio.

3.- Muchas de las áreas tanto académicas como en distintos ámbitos de nuestra intelectualidad, han recogido sus frutos gracias al entendimiento de la línea recta, debido a que ningún conocimiento se construye sin obtener sus bases fundamentales y nuestro propósito es seguir dando a conocer el comportamiento analítico en el plano y más adelante en el espacio de curvas como, circunferencia, parábola, elipse, hipérbola, entre otras. Las cuales pertenezcamos o no al ámbito académico forman  y formarán parte de nuestras vidas. 

4.- Para cerrar podemos decir, que en términos geométricos, una  recta podrá determinarse conociendo muchas de sus características, las cuales gracias inicialmente a la geometría analítica plana hemos podido interpretar y comprender con mayor facilidad, y aún más las  hemos aplicado en cualquier ámbito de nuestras vidas.  

Nota: Todas las imágenes fueron elaborados usando las aplicaciones  Paint, Power Point y GeoGebra. 

# Referencias Bibliográficas
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[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989. 

[2] Jennings, G.A. Geometría moderna con aplicaciones. Springer, New York, 1994.

[3] Snapper, E., Troyer, R.J.  Geometría afín métrica. Dover, New York, 1971. 


# Autor: @rbalzan79</div>