EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO by tsoldovieri

stem-espanol · @tsoldovieri · Jan 17 '18

$62.29

EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO

<div class="text-justify">

Para todos los Steemians de esta gran comunidad de Steemit, cordiales y muy respetuosos saludos de mi parte!. Continuando con mi serie de posts  dedicados a la definición de **ANGULO SOLIDO**, en el presente les muestro **LA EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO**. Todos estos posts los voy presentando de una manera pausada ya que requieren de considerable trabajo de edición de texto y creación de figuras. TODAS LAS IMAGENES AQUI PRESENTADAS SON COMPLETAMENTE DE MI AUTORIA.
</div>

#### <div class="text-justify">INDICE DE POSTS ANTERIORES:</div>

1.  <div class="text-justify">[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 - CONOCIMIENTOS BASICOS](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-1-conocimientos-basicos)</div>

2.  <div class="text-justify">[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION)](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-2-conocimientos-basicos-continuacion)</div>

3.  <div class="text-justify">[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 3 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION)](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-3-conocimientos-basicos-continuacion)</div>

4.  <div class="text-justify">[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 4 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION)](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-4-conocimientos-basicos-continuacion)</div>

5.  <div class="text-justify">[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-5-definicion-de-angulo-solido)</div>

<center>![Angulo6b.jpg](https://steemitimages.com/DQmUt4gVnnQgKMPP36byqPpPMyLBqsdL25VbFwpgJDM7wrc/Angulo6b.jpg)</center>

# <center>EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO</center>

<div class="text-justify">

Supóngase ahora que se tiene una superficie plana muy pequeña ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg), representada vectorialmente por el vector ![Relación 4Ff.jpg](https://steemitimages.com/DQmZHpx3C2CG9bnJ8yZ6RA38duwWfsu3BdCqWwgYeH8rss5/Relaci%C3%B3n%204Ff.jpg)  perpendicular a ella, que está situada a una distancia R de un punto fijo P y que está posicionada mediante el vector ![Relación 4Xf.jpg](https://steemitimages.com/DQmZTUPJfWQifuvBD1BBRincjhF88iJxaxX1XbHUEJbofwo/Relaci%C3%B3n%204Xf.jpg) con respecto al mismo. El vector ![Relación QXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmWcCGHTYc5cZJn5wPXs7ce93y6nAnveHaiamFWZHq6KLh/Relaci%C3%B3n%20QXG.jpg) es un vector unitario en la dirección de ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg), es decir, ![Relación 8XG.jpg](https://steemitimages.com/DQmdvA6cv97qLYJam1rFNXDcmitCoHCWLzwx4ha7W1Sxe2A/Relaci%C3%B3n%208XG.jpg).

</div>

<center>![AngSol66.jpg](https://steemitimages.com/DQmb3VC3A8YfZh2bdZhkv4n6wWQf1RtCcPPN9KeLs1BdybQ/AngSol66.jpg)</center>
<center>Figura 1 - Angulo sólido subtendido por una superficie diferencial ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg) con respecto a un punto P.</center>

<div class="text-justify">

Gráficamente, igual que antes, el ángulo sólido subtendido por dS con respecto al punto P se obtiene al trazar semirrectas desde este punto tocando dS sin pasar por su interior, como se muestra en la figura 1. De esta manera se obtiene una superficie cónica cuya abertura interior representa el ángulo sólido buscado, superficie que suele llamársele **Cono Elemental**, por ser dS una superficie elemental o diferencial. Por la misma razón, el ángulo sólido subtendido es también elemental o diferencial y será denotado como ![Relación dXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmbcFrPqMRZQwJE6Tc9GSgYsaA84ia2z27Kkfuuv6MLSeB/Relaci%C3%B3n%20dXG.jpg).

</div>

<center>![AngSol10.jpg](https://steemitimages.com/DQmYhWwLYKT5T2Bt5SvE9N34QFxoW5yKnrEcZXqoYz7JwEW/AngSol10.jpg)</center>
<center>Figura 2 - Diferencial de angulo sólido ![Relación dXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmbcFrPqMRZQwJE6Tc9GSgYsaA84ia2z27Kkfuuv6MLSeB/Relaci%C3%B3n%20dXG.jpg) subtendido por una superficie infinitesimal ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg) con respecto a un punto de referencia P.</center>

<div class="text-justify">

Para encontrar el valor numérico de ![Relación dXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmbcFrPqMRZQwJE6Tc9GSgYsaA84ia2z27Kkfuuv6MLSeB/Relaci%C3%B3n%20dXG.jpg) es necesario usar la definición,

</div>

<center>![Ec post5a.jpg](https://steemitimages.com/DQmNNyRT8hqb3EbWoQDhhQzNExLTuB4vX2yaj8JG5KVUJCG/Ec%20post5a.jpg)</center>
<center>Ecuación 1</center>

<div class="text-justify">

vista en el post [EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-1-conocimientos-basicos) y, como ya se sabe de la sección antes mencionada, debe emplearse el procedimiento representado en la figura 2. Es decir, se dibuja una esfera unitaria auxiliar con centro en P, sobre la cual el cono intercepta una superficie ![rel223.jpg](https://steemitimages.com/DQmZVeUmFRgXs1vmWMWXToXFNZ2XfG1DDnE6CcXTeEXqM38/rel223.jpg) y otra esfera con centro en el mismo punto pero con radio igual a la distancia R entre P y dS, sobre la cual el cono intercepta una superficie ![rel2t3.jpg](https://steemitimages.com/DQmc14cLkvBaiG46SZeKiGU226Uh6mLAw6TbZTSidZ9wUxi/rel2t3.jpg). Estas dos superficies son homotéticas, siendo la segunda numéricamente igual al ángulo sólido buscado y la primera, aquella que debe ser sustituida en la ecuación 1. Entonces,

</div>

<center>![rel2tf3.jpg](https://steemitimages.com/DQmYTK7cA1fQWGhy49rH9Z8ykJrzw1gqVJv1zNyGTisTBtJ/rel2tf3.jpg)</center>
<center>Ecuación 2</center>

<div class="text-justify">

Ahora para encontrar ![Relación dXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmbcFrPqMRZQwJE6Tc9GSgYsaA84ia2z27Kkfuuv6MLSeB/Relaci%C3%B3n%20dXG.jpg) es necesario conocer el valor de ![rel2t3.jpg](https://steemitimages.com/DQmc14cLkvBaiG46SZeKiGU226Uh6mLAw6TbZTSidZ9wUxi/rel2t3.jpg), que (al igual que ![rel223.jpg](https://steemitimages.com/DQmZVeUmFRgXs1vmWMWXToXFNZ2XfG1DDnE6CcXTeEXqM38/rel223.jpg)) es un sector esférico diferencial. Obviamente, ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg) un vector normal al mismo.

</div>

<center>![AngSol67.jpg](https://steemitimages.com/DQmeH16qwHVmswXL7Aozb1kGbXo1rD7k89W88554d7GwM6n/AngSol67.jpg)</center>
<center>Figura 3 - Corte transversal del cono elemental de la figura 2.</center>

<div class="text-justify">

Es posible aproximar, como se muestra en la figura 3, el valor de la superficie de este sector esférico (por su condición diferencial) mediante una superficie diferencial plana ![rel2tf3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmNp7piHXrEBBzufwf4raxabsFjQ35qEDhJGCxnu6uJaXM/rel2tf3c.jpg) perpedicular a ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg) y, por ende, tangente a dicho sector,

</div>

<center>![rel2tff3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmSYU7Z9xpRxVy3cv2f8CjXU8swrMG9LGdedopZpAVcJaV/rel2tff3c.jpg)</center>
<center>Ecuación 3</center>

<div class="text-justify">

En general (La superficie ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg) puede ser considerada esencialmente plana debido a que es muy pequeña y, por ende, es suficiente un único ángulo para indicar su orientación) la superficie ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg) formará un ángulo ![rel2d3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmQUwhdn1SDqc1msnZWDAZsG8cgQhM93rEyK8Xh59PW9eo/rel2d3c.jpg) con ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg) y, por lo tanto, con la ![rel2tf3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmNp7piHXrEBBzufwf4raxabsFjQ35qEDhJGCxnu6uJaXM/rel2tf3c.jpg). Entonces,

</div>

<center>![rel2h3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmRdUUdpaWRGpBrETB6Kot89NejFWqfm4mhHD4DmfpAYLq/rel2h3c.jpg)</center>
<center>Ecuación 4</center>

<div class="text-justify">

de manera que, en vista de este resultado y de la ecuación 3, la ecuación 2 puede ser escrita finalmente como,

</div>

<center>![rel2ttc.jpg](https://steemitimages.com/DQmTFsgRzPdgwVXDEB4K9PBVhg5EDgdJA1cfBkjvNsos8br/rel2ttc.jpg)</center>
<center>Ecuación 5</center>

<div class="text-justify">

que es la expresión diferencial buscada. Para determinar el ángulo sólido subtendido por una superficie S es necesario integrar sobre toda ella la ecuación 5 resultando,

</div>

<center>![rel2trc.jpg](https://steemitimages.com/DQmNdjxpjcuz1XtH9aLvNUKbRENGByXrxZAdtG8oqFA9EVh/rel2trc.jpg)</center>
<center>Ecuación 6</center>

<div class="text-justify">

siendo la expresión integral buscada y que puede tomarse como definición formal del ángulo sólido bajo el cual se ve la superficie S desde un punto de referencia P. Aquí ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg) es cada vector con origen en P y extremo en un punto de cada ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg).

</div>

<center>![AngSol50.jpg](https://steemitimages.com/DQmYBrGYfJYyZ6E5RuwKbq6yGWfBmx8USsYFj45GopoGJcE/AngSol50.jpg)</center>
<center>Figura 4 - Angulo sólido ![Omega.jpg](https://steemitimages.com/DQmWs71c39h1FDJjfKF8BQYfPgfgyvftAPV1us2GXSMfj5E/Omega.jpg) cuando P no está en el origen del sistema de coordenadas escogido.</center>

<div class="text-justify">

En el caso de que el punto P no se encuentre en el origen del sistema de coordenadas escogido sino que se encuentra a una posición ![rel2trq.jpg](https://steemitimages.com/DQmV46C3jPJAVW9XDin1oPkVkxyJ2Lg7LALbztdnc8nS5bG/rel2trq.jpg) de éste (ver figura 4), el ángulo sólido vendrá dado por la expresión,

</div>

<center>![rel2tdd.jpg](https://steemitimages.com/DQmbq2z1CVf2qU98XiGPJgz6PJHmUaPBDx1NZo4HNmAtYVw/rel2tdd.jpg)</center>
<center>Ecuación 7</center>

<div class="text-justify">

que en función del vector ![rel2tddx.jpg](https://steemitimages.com/DQmPpY4mx9Bhx7dLZNf5xYgraHUCHHMSqP93zKrtYB2PvHF/rel2tddx.jpg)  se puede escribir como,

</div>

<center>![relwdx.jpg](https://steemitimages.com/DQmTmwBWvX9tvNQEF6zF1DKUzueUVcStGBYvt9HtcjPpPTo/relwdx.jpg)</center>
<center>Ecuación 8</center>

<div class="text-justify">

que es la misma definición dada por la ecuación 6.

</div>

<div class="text-justify">

El factor ![relwdxq.jpg](https://steemitimages.com/DQmfBzMM2MBDi1k1ePEB2tUGsAS1PFiaKJAQHPSGMRcKq1y/relwdxq.jpg) en el integrando de la ecuación 8 permite relacionar a la superficie proyectada ![relffxq.jpg](https://steemitimages.com/DQmWTxbthcL7bxFQcvmYhYnD5m3KGEc99WJAVsUNTqj2xgB/relffxq.jpg) con una superficie definida en la esfera de radio unidad (esfera auxiliar) mediante una homotecia con centro en ![rel2trq.jpg](https://steemitimages.com/DQmV46C3jPJAVW9XDin1oPkVkxyJ2Lg7LALbztdnc8nS5bG/rel2trq.jpg), es decir, con centro en el centro de la mencionada esfera.

</div>

***
#### REFERENCIAS
1.  <div class="text-justify">Soldovieri, Terenzio y Viloria, Tony. **EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNA DE SUS APLICACIONES**. 1era edición (borrador). Puede descargarse en mi web http://www.cmc.org.ve/tsweb/ </div>

2.  <div class="text-justify">**Todas las imágenes aquí presentadas fueron elaboradas por mi**. La imagen a color constituye una modificación de la imagen de portada del texto indicado antes, del cual soy autor.</div>

3.  <div class="text-justify">Alonso, M. & Finn, E. J. **FISICA - MECANICA**, volume 1. Fondo Educativo Interamericano,
S.A., 1970. pp. 21 - 23 51 - 53.</div>

4.  <div class="text-justify">Faget, J. & Mazzaschi, J. **TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES**, volume 1. Editorial Reverté, S.A., 1976. pp. 121 - 135.</div>

***

<center>![10A7BB587.gif](https://steemitimages.com/DQmNbHJV2v7CPsGADD9TnkyWHA9XfDdvG4e87WWV3mZsEkE/10A7BB587.gif)</center>

<div class="text-justify">

Es mi muy sincero deseo que la anterior información les sea muy útil. Sé que dentro de la comunidad de Steemit existe una enorme cantidad de estudiantes de carreras afines a la ciencia, a los cuales esta información puede ser de gran utilidad. El próximo de esta serie se referirá a las **Propiedades del Angulo Sólido**.
Hasta mi próximo post. ¡Saludos a todos! &#128513;.

</div>

***

<center>

Si desea leer más artículos científicos de buena calidad, no pierda el tiempo, y visite la etiqueta #steemstem, es un gran proyecto que ha crecido enormemente en los últimos meses, con el fin de promover altos puestos a publicaciones científicas

</center>

<center>

Únase a nosotros en nuestro canal, también puede visitar el blog @steemstem y obtener mas información.

</center>

***

***

<center>![Steemit firma 2.jpg](https://steemitimages.com/DQmZooNe3vuZZ9F2xB6nx97UJLAsMSfNey4tfxD4JgfAuAq/Steemit%20firma%202.jpg)</center>
***

<center>![10A7BB587.gif](https://steemitimages.com/DQmNbHJV2v7CPsGADD9TnkyWHA9XfDdvG4e87WWV3mZsEkE/10A7BB587.gif)</center>

👍 hendrikdegrote, lafona-miner, justtryme90, steemstem, liberosist, curie, roelandp, meerkat, lemouth, anwenbaumeister, pharesim, hr1, mrs.agsexplorer, mobbs, timsaid, thevenusproject, kushed, geekpowered, jamhuery, velourex, dna-replication, fancybrothers, kedi, ovij, teofilex11, hugobohor, tormiwah, tsoldovieri, joseg, sco, somethingburger, toxichan, bp423, lorenzor, taborda-charrouf, gamesjoyce, ongoingwow, cebymaster, cotidiana, steemedia, alexander.alexis, iamphysical, maxer27, iamsgr, rscalabrini, diggerdugg, aeff, omar171, ruaestefany, emily61, marlond14, orlandoj, alfrichreyes, gabox, djredimi2, gabrieladlacv, williamsq, hidden84, sneikder, rosynesn, lord-rakso, rayken04

`post_id`	26,286,864
`author`	tsoldovieri
`permlink`	el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"format": "markdown", "links": ["https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-1-conocimientos-basicos", "https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-2-conocimientos-basicos-continuacion", "https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-3-conocimientos-basicos-continuacion", "https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-4-conocimientos-basicos-continuacion", "https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-5-definicion-de-angulo-solido", "http://www.cmc.org.ve/tsweb/"], "app": "steemit/0.1", "tags": ["stem-espanol", "steemstem", "steemiteducation", "ciencia", "spanish"], "users": ["steemstem"], "image": ["https://steemitimages.com/DQmUt4gVnnQgKMPP36byqPpPMyLBqsdL25VbFwpgJDM7wrc/Angulo6b.jpg"]}"
`created`	2018-01-17 18:51:27
`last_update`	2018-01-17 18:51:27
`depth`	0
`children`	12
`net_rshares`	7,487,032,461,096
`last_payout`	2018-01-24 18:51:27
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	47.072 SBD
`curator_payout_value`	15.220 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	13,261
`author_reputation`	8,620,958,521,556
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (62)

voter	rshares	pct
pharesim	95,495,286,477	0.08%
lafona-miner	974,591,491,941	20%
hr1	50,228,231,294	0.02%
kushed	14,619,595,627	8%
mrs.agsexplorer	45,853,812,410	16%
justtryme90	503,960,616,226	21%
anwenbaumeister	128,483,551,694	8%
roelandp	346,093,282,424	4%
liberosist	399,109,080,488	8%
toxichan	1,807,439,493	8%
timsaid	22,364,833,167	8%
velourex	12,907,637,373	8%
lemouth	140,552,010,804	40%
steemedia	853,276,015	8%
meerkat	186,824,111,191	8%
curie	348,452,640,099	8%
cebymaster	995,833,919	8%
hendrikdegrote	3,612,189,710,511	9.6%
steemstem	443,455,595,516	40%
cotidiana	949,950,997	8%
teofilex11	4,319,259,826	8%
thevenusproject	19,128,218,492	40%
dna-replication	10,550,201,460	40%
iamsgr	693,692,123	8%
djredimi2	523,977,058	100%
jamhuery	12,947,796,863	40%
mobbs	41,993,487,394	20%
bp423	1,550,716,075	8%
diggerdugg	655,423,617	8%
maxer27	706,245,054	8%
lorenzor	1,516,921,118	100%
alexander.alexis	851,770,903	4%
omar171	614,503,785	100%
taborda-charrouf	1,298,461,929	100%
fancybrothers	7,008,095,369	28%
tsoldovieri	2,961,342,593	100%
ovij	4,704,468,272	40%
joseg	2,658,339,218	100%
gamesjoyce	1,253,556,806	8%
somethingburger	1,989,038,979	40%
iamphysical	816,645,282	100%
tormiwah	3,176,138,424	24%
gabox	580,621,891	2%
hugobohor	4,156,226,452	100%
rayken04	54,493,713	10%
rscalabrini	680,513,236	8%
rosynesn	180,873,075	100%
alfrichreyes	595,636,600	100%
kedi	6,498,780,740	28%
emily61	608,534,878	100%
williamsq	473,165,000	100%
ongoingwow	1,183,364,308	32%
geekpowered	14,592,933,981	8%
aeff	615,078,470	100%
orlandoj	599,594,751	100%
ruaestefany	614,445,338	100%
sco	2,103,464,229	8%
hidden84	333,116,321	8%
sneikder	235,487,465	98%
lord-rakso	101,470,359	100%
marlond14	605,286,229	100%
gabrieladlacv	513,085,754	100%

@emily61 · Jan 17 '18

$0.03

Muy prolijo tu trabajo, felicitaciones. Saludos y Votado!!!

👍 tsoldovieri, emily61

`post_id`	26,289,403
`author`	emily61
`permlink`	re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180117t190848656z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-17 19:09:06
`last_update`	2018-01-17 19:09:06
`depth`	1
`children`	1
`net_rshares`	4,200,302,006
`last_payout`	2018-01-24 19:09:06
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.026 SBD
`curator_payout_value`	0.008 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	59
`author_reputation`	1,015,468,992,433
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (2)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,549,339,502	100%
emily61	0 B		650,962,504	100%

@tsoldovieri · Jan 17 '18

Gracias mi muy hermosa colega @emily61. Saludos &#128513;

properties (22)

`post_id`	26,290,141
`author`	tsoldovieri
`permlink`	re-emily61-re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180117t191401552z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "users": ["emily61"], "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-17 19:14:12
`last_update`	2018-01-17 19:14:12
`depth`	2
`children`	0
`net_rshares`	0
`last_payout`	2018-01-24 19:14:12
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.000 SBD
`curator_payout_value`	0.000 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	57
`author_reputation`	8,620,958,521,556
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000

@hugobohor · Jan 17 '18

$0.03

Excelente entrega de la serie sobre el ángulo sólido. Felicitaciones hermano perijanero y gracias por seguir compartiendo información útil. ¡Saludos y un abrazo!

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,291,336
`author`	hugobohor
`permlink`	re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180117t192148005z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-17 19:22:30
`last_update`	2018-01-17 19:22:30
`depth`	1
`children`	1
`net_rshares`	3,488,493,682
`last_payout`	2018-01-24 19:22:30
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.021 SBD
`curator_payout_value`	0.004 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	161
`author_reputation`	2,550,742,783,711
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,488,493,682	100%

@tsoldovieri · Jan 19 '18

$0.03

Muchas gracias hermano perijanero @hugobohor, Gracias por tu comentario y apoyo. Un afectuoso saludo de mi parte.

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,549,069
`author`	tsoldovieri
`permlink`	re-hugobohor-re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180119t034627705z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "users": ["hugobohor"], "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-19 03:46:27
`last_update`	2018-01-19 03:46:27
`depth`	2
`children`	0
`net_rshares`	3,204,740,615
`last_payout`	2018-01-26 03:46:27
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.026 SBD
`curator_payout_value`	0.000 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	113
`author_reputation`	8,620,958,521,556
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,204,740,615	100%

@iamphysical · Jan 18 '18

$0.03

Saludos estimado @tsoldovieri
Bienvenido a la comunidad científica #stem-espanol
Excelente contar con publicaciones de autoría principal, sus imágenes y la teoría desarrollada será de gran utilidad para la comunidad.

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,335,035
`author`	iamphysical
`permlink`	re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180118t012031901z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "users": ["tsoldovieri"], "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-18 01:20:33
`last_update`	2018-01-18 01:20:33
`depth`	1
`children`	1
`net_rshares`	3,691,313,082
`last_payout`	2018-01-25 01:20:33
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.026 SBD
`curator_payout_value`	0.004 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	216
`author_reputation`	26,846,575,075,263
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,691,313,082	100%

@tsoldovieri · Jan 19 '18

$0.02

Muchísimas gracias por la bienvenida. Estaré apoyando  #stem-espanol , elaborando publicaciones originales de calidad. Cuenten conmigo. Un cordial saludo.

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,548,838
`author`	tsoldovieri
`permlink`	re-iamphysical-re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180119t034443810z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-19 03:44:42
`last_update`	2018-01-19 03:44:42
`depth`	2
`children`	0
`net_rshares`	3,022,192,099
`last_payout`	2018-01-26 03:44:42
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.021 SBD
`curator_payout_value`	0.000 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	154
`author_reputation`	8,620,958,521,556
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,022,192,099	100%

@carloserp-2000 · Jan 18 '18

$0.03

https://steemitimages.com/DQmaJrq8qrmKQvb2szdHEXfBAkh4aMU7vPmkAeae4F64Hce/image.png

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,412,014
`author`	carloserp-2000
`permlink`	re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180118t120157046z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "image": ["https://steemitimages.com/DQmaJrq8qrmKQvb2szdHEXfBAkh4aMU7vPmkAeae4F64Hce/image.png"], "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-18 12:00:39
`last_update`	2018-01-18 12:00:39
`depth`	1
`children`	1
`net_rshares`	3,407,365,922
`last_payout`	2018-01-25 12:00:39
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.021 SBD
`curator_payout_value`	0.004 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	83
`author_reputation`	66,578,396,822,543
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,407,365,922	100%

@tsoldovieri · Jan 19 '18 (edited)

$0.03

Gracias por la información. Gracias @steemstem por la creación del tag #stem-espanol, tan útil para nosotros los hispano-hablantes!. Saludos.

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,666,889
`author`	tsoldovieri
`permlink`	re-carloserp-2000-re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180119t172215743z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "users": ["steemstem"], "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-19 17:22:21
`last_update`	2018-01-19 17:23:09
`depth`	2
`children`	0
`net_rshares`	3,245,306,952
`last_payout`	2018-01-26 17:22:21
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.034 SBD
`curator_payout_value`	0.000 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	141
`author_reputation`	8,620,958,521,556
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,245,306,952	100%

@rnunez09 · Jan 18 '18

$0.03

Simplemente maravilloso tu post amigo. Está muy bien escrito e ilustrado, los detalles en las ilustraciones son importantes para poder entender este tema tan poco conocido. Las referencias y el índice que indica los post anteriores son de gran ayuda.

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,490,887
`author`	rnunez09
`permlink`	re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180118t201235846z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-18 20:07:39
`last_update`	2018-01-18 20:07:39
`depth`	1
`children`	1
`net_rshares`	3,630,467,262
`last_payout`	2018-01-25 20:07:39
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.021 SBD
`curator_payout_value`	0.004 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	250
`author_reputation`	5,076,396,728,502
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,630,467,262	100%

@tsoldovieri · Jan 19 '18

$0.02

Mil gracias amigo @rnunez09. Gracias por tu comentario, el cual constituye para mí un fuerte incentivo para seguir realizando publicaciones de este estilo. Gracias por tu apoyo. Un afectuoso saludo.

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,549,489
`author`	tsoldovieri
`permlink`	re-rnunez09-re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180119t035000396z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "users": ["rnunez09"], "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-19 03:50:00
`last_update`	2018-01-19 03:50:00
`depth`	2
`children`	0
`net_rshares`	3,083,041,604
`last_payout`	2018-01-26 03:50:00
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.021 SBD
`curator_payout_value`	0.000 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	198
`author_reputation`	8,620,958,521,556
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,083,041,604	100%

@gfs.gabriel · Jan 19 '18

$0.03

Excelente aporte amigo bastante completo

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,526,449
`author`	gfs.gabriel
`permlink`	re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180119t004939786z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-19 00:49:45
`last_update`	2018-01-19 00:49:45
`depth`	1
`children`	1
`net_rshares`	3,346,520,102
`last_payout`	2018-01-26 00:49:45
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.021 SBD
`curator_payout_value`	0.004 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	40
`author_reputation`	68,303,733,730
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,346,520,102	100%

@tsoldovieri · Jan 19 '18

$0.02

Gracias @gfs.gabriel. Saludos!.

👍 tsoldovieri

`post_id`	26,549,716
`author`	tsoldovieri
`permlink`	re-gfsgabriel-re-tsoldovieri-el-angulo-solido-parte-6-expresion-diferencial-e-integral-del-angulo-solido-20180119t035141268z
`category`	stem-espanol
`json_metadata`	"{"app": "steemit/0.1", "users": ["gfs.gabriel"], "tags": ["stem-espanol"]}"
`created`	2018-01-19 03:51:39
`last_update`	2018-01-19 03:51:39
`depth`	2
`children`	0
`net_rshares`	3,143,891,109
`last_payout`	2018-01-26 03:51:39
`cashout_time`	1969-12-31 23:59:59
`total_payout_value`	0.021 SBD
`curator_payout_value`	0.000 SBD
`pending_payout_value`	0.000 SBD
`promoted`	0.000 SBD
`body_length`	31
`author_reputation`	8,620,958,521,556
`root_title`	"EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO"
`beneficiaries`	`[]`
`max_accepted_payout`	1,000,000.000 SBD
`percent_steem_dollars`	10,000
`author_curate_reward`	""

properties (23)vote details (1)

voter	weight	wgt%	rshares	pct	time
tsoldovieri	0 B		3,143,891,109	100%