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CONJUNTOS NUMÉRICOS PARTE I: Números Naturales, una Aplicación en Criptografía by ydavgonzalez

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CONJUNTOS NUMÉRICOS PARTE I: Números Naturales, una Aplicación en Criptografía
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Un fraternal saludo a toda la comunidad de habla hispana de Steemit, en especial a la comunidad científica de #STEM-ESPANOL y #STEEMSTEM, después de cierto tiempo en el que he estado bastante ocupado, me complace hoy presentarles este artículo que servirá de introducción a un serie de posts sobre los conjuntos numéricos que estaré publicando.

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<b>Números naturales, Fuente: Pexels (2016) Licencia: CC0,  Disponible <a href="https://pixabay.com/es/photos/campo-de-atletismo-de-tierra-lane-1867053/">aquí</a></b>

Los números naturales son todos los números que utilizamos normalmente para contar, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, …. Desde esta perspectiva fueron los primeros números utilizados por el ser humano y sirven como bloques de construcción de los demás conjuntos numéricos. En teoría de conjuntos suelen denotarse con N. Los números naturales surgieron en la antigüedad como una herramienta para contar los bienes de las personas, los días del año y diversos conceptos de la vida cotidiana que pueda ser enumerados, esto es así debido a que el conjunto de números naturales es un conjunto claramente ordenado. 

Es evidente el hecho de que el conjunto de los números naturales es infinito, y sobre ellos se pueden definir las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética y realizarlas con algunas observaciones a tener en cuenta:

* La adición de dos números naturales siempre nos dará otro número natural
* La sustracción de dos números naturales puede dar como resultado un número negativo, Ejemplo 2-3=-1 para garantizar que el resultado sea un número natural el minuendo (primer número en la sustracción) debe ser mayor que el sustraendo.
* La multiplicación de dos números naturales siempre nos dará otro número natural.
* La división de dos números naturales puede dar como resultado un número racional,  Ejemplo 1 / 2=  ½, para garantizar que el resultado sea un número natural el dividendo (primer número en la división) debe ser un múltiplo del divisor.

De esta forma podemos concluir que el conjunto de los números naturales es cerrado para la suma y multiplicación, pero no para la sustracción y división. Adicionalmente la adición y multiplicación de números naturales cumplen las propiedades conmutativas y asociativas, es decir:

1)	El orden de los factores no altera el producto a+b=b+a y a*b=b*a
2)	Cuando se realiza la operación con tres números no es necesario agruparlos de cierta manera, a+(b+c)=(a+b)+c

Dentro del conjunto de los números naturales existe un subconjunto de números que debido a sus propiedades intrínsecas han sido ampliamente estudiado por los matemáticos a lo largo de los siglos, se trata de los número primos.
Un número primo es aquel que solo es divisible entre 1 y entre el mismo, por ejemplo 17 es primo debido a que sólo se puede dividir entre 1 y 17, por otra parte 63 no es primo debido a que puede descomponerse como 7x9, estas definiciones nos llevan a establecer el siguiente teorema

## TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA y ALGORITMO RSA:

 Todo número natural puede ser expresado como el producto de factores primos, por ejemplo el número 125 = 5*5*5 en cambio 127 = 127 (debido a que se trata de un número primo). A pesar de conocer que cualquier número natural puede ser expresado como el producto de factores primos encontrar dichos factores en muchas ocasiones puede ser un  problema muy complejo. En base  al teorema anterior, se puede establecer que los números naturales se clasifican en el número uno, los primos y los compuestos, cualquier número natural diferente de 1 es bien primo o puede descomponerse como producto de factores primos.

Por ejemplo el número 53387 puede descomponerse como el producto de 197 por 221, sin embargo, dado el número original encontrar los factores primo resulta un proceso muy complejo, a pesar de esto si partimos de los factores mediante una simple multiplicación podemos encontrar el número dado, esta dualidad entre la facilidad de multiplicar dos primos y la dificultad de factorizar un número natural que es producto de dos primos es la base del **algoritmo criptográfico RSA** (Rivest, Shamir y Adleman), actualmente dicho algoritmo utiliza números primos de 300 dígitos para obtener el nivel de seguridad deseado.

Un claro ejemplo para entender como funciona el algoritmo es analizar el producto de los siguientes números primos 227 y 263, fácilmente encontramos que dicho producto es igual a 59701, sin embargo si quisiéramos saber si dicho número es primo debemos aplicar un procedimiento más complejo.

El procedimiento (conocido como **Criba de Eratóstenes**) consiste en verificar si 59701 es divisible por n, donde n toma valores que van desde 2 hasta la raíz cuadrada de 59701 (solo es necesario verificar si es divisible entre los números primos en dicho rango), para encontrar la coincidencia se necesitan realizar  49 divisiones antes de dar con el número 227 como factor primo, este pequeño ejemplo muestra la dificultada de factorizar en números primos.

SI bien es cierto que existen métodos para probar la primalidad de un número mucho más eficientes que la criba de eratóstenes al usar primos de 300 dígitos ni siquiera las computadoras puedes resolver el problema en tiempo razonable, por lo cual se considera un algoritmo criptográfico seguro.

De esta forma pudimos apreciar una de las aplicaciones de los números naturales en la seguridad informática, lo cual pone de relevancia su inmensa utilidad en todos los ámbitos de la actividad humana y son la base para construir los conceptos relacionados a los demás conjuntos numéricos los cuales estaremos analizando en los siguientes artículos

## CONCLUSIONES

1. Los números naturales son los ladrillos que se utilizan para construir todos los conjuntos numéricos utilizados por las matemáticas actuales.
2. Todo número entero diferente de 1 es un número primo o puede expresarse como producto de primos.
3. Los números naturales tienen una amplia variedad de aplicaciones en situaciones de la  vida cotidiana

**“Dondequiera que haya un número está la belleza.”  (FELIX KLEIN)**

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EXcelente tenerte de vuelta!
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