# 퀴즈 483 2001-2

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2^{a} - 2^{b}  가 2001의 배수가 되는 두 수 2^{a}, 2^{b} 가 존재함을 보여라

# 풀이 

이 문제는 지난 퀴즈 478번과 근본적으로 같은 문제이다.  즉 비둘기집의 원리를 이용하여 해결하면 된다.  어떤 수를 2001로 나누었을 때 그 나머지는 0부터 2000까지 총 2001개가 존재한다.  

자 그럼 다른 수 2002개를 꺼내면 그 중 나머지가 같은 것이 존재할꺼고 그 두 수를 뺀 값이 2001의 배수가 될 것이다. 서로 다른 수 2002개를 어떻게 잡을지에 대해 생각하면 된다. 문제의 조건이 이를 아주 잘 명시하고 있다. 즉 2^1, 2^2, ... 2^{2002} 개의 수를 생각하면 이를 2001로 나눈 나머지 중에서 나머지가 같은 수가 적어도 2개는 존재할 것이다. 그 수 두개를 골라 뺀 값은 2001의 배수가 되니 적어도 한개의 그런 수가 존재한다는 것을 알 수 있다. 


# 퀴즈 484 9명의 아이들과 시소
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9명의 아이들이 있다. 이들은 생김새와 체형 모두 비슷하다. 다만 1명만 다른 8명에 비해 몸무게가 덜 나간다. 

시소를 이용해 그 한명을 찾아내려고 할 때 어떻게 하면 되겠는가?  

시소를 최소 몇번 사용해야 할까? 


# 풀이 

시소를 두번만 사용해서 측정할 수 있다. 

 
총 9명이니까 3명식 3팀을 만든다. 편의상 A,B,C 라 하자. A 와 B 가 같다면 C 에서 A 와 B 의 무게가 다르다면 가벼운 팀에서 2명을 골라 시소에 오르게 한다. 만약 그 두 사람의 무게가 같다면 남은 한 사람이, 무게가 다르다면 무게가 가벼운 사람이 가장 가벼운 사람이다. 

[A=B 이면 C 즉 C1,C2,C3 에서 가벼운 사람이 존재한다. C1,C2 를 뽑아 무게가 같다면 C3 가 무게가 다르다면 가벼운 사람이 가장 가벼운 사람이 된다.  A>B 이면 B 에 가벼운 사람이 존재한다.  즉 B1,B2,B3 중에 가벼운 사람이 존재한다. B1,B2를 뽑아 무게가 같다면 B3 가, 무게가 다르다면 가벼운 사람이 가장 가벼운 사람이 된다.]


# 퀴즈 485 이등변 삼각형

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이등변 삼각형의 등변이 주어졌을때, 삼각형의 넓이를 최대로 하는 나머지 한변의 길이는 얼마일까? 

# 풀이 

물론 직관적으로 우리는 답을 안다. 직각이등변 삼각형이 가장 넓이가 클 것이고 한변의 길이를 a 라 하면 그 빗변의 길이는 sqrt{2} a 가 될 것이다. 

이를 어떻게 보일 수 있을까? 이 문제를 푸는 방법은 여러가지가 있을 것이다. 먼저 원을 그려서 생각할 수도 있다. 뭐 최대 넓이가 되려면 최대 높이가 되어야 하고 그러면 직각이 되어야 한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 

사실 이는 원을 굳이 그리지 않고 삼각함수의 성질을 알고 있다면 쉽게 보일 수 있다. 

![image.png](https://cdn.steemitimages.com/DQmc691amwJ1MytZiG8uVsMJfWCEvDzFoDentYjSUCchrrd/image.png)



  중학교 때 배우는 헤론의 공식을 가지고 식을 세운후 그 s 값을 최대로 하는 c 값을 찾아도 된다. 


![image.png](https://cdn.steemitimages.com/DQmR6euAAJQmpUp7BBFuJ18vcYjbXSxZ9zVzXDqYWgjoL97/image.png)


![image.png](https://cdn.steemitimages.com/DQmXtqHArDQr4dsNVeredhCHkze8gfWa8GBo1yUtDHiCzPb/image.png)

물론 이 과정에서 미분을 해서 극값을 구해야 하겠지만 말이다.