Kryptografie (7) : El-Gamal by ozelot47

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· @ozelot47 ·
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Kryptografie (7) : El-Gamal
Der Algorithmus von **El-Gamal** basiert auf das **Schlüsselaustauschverfahren** von Diffie-Hellman und stellt eine **asymmetrische Verschlüsselung** dar. Zunächst wird mit dem Protokoll von Diffie-Hellman jeweils ein Schlüsselpaar generiert, sodass zwei Kommunikationspartner sicher Nachrichten austauschen können [1].

Als Beispiel möchten wir, der Sender, eine Nachricht <code>m</code> verschlüsselt an dem Empfänger zusenden. Dafür benötigen wir seinen Public-Key den er uns mitteilen muss. Die Parameter <code>p,g,k</code> des Empfängers wurden bereits mithilfe von Diffie-Hellman bestimmt.

### Kurze Wiederholung
<code>p</code> ist die Zahl die den endlichen Körper bildet, <code>g</code> ist ein Element des endlichen Körpers und <code>k</code> ist eine zufällige Zahl, wobei <code>1 < k < p-1</code> gilt.

### Rechenbeispiel
Nehmen wir mal ein paar konkrete Werte. Der Empfänger veröffentlicht uns seinen **Public-Key** mit den Tupel <code>(p,g,a)=(23,7,17)</code>. Das <code>a</code> wird mit <code>g^k mod p = 7^5 mod 23 = 17</code> berechnet, wobei die zufällige Zahl des Empfängers <code>k=5</code> lautet.

Nun möchte der Sender seine Nachricht <code>m=8</code> mit den Public-Key des Empfängers verschlüsseln und zusenden. Der Sender wählt hierfür seinerseits eine zufällig Zahl <code>k=3</code> aus <code>1 < k < p-1</code> und berechnet
<code>b=g^k mod p=7^3 mod 23 = 21</code> und <code>i=a^k mod p=17^3 mod 23=14</code> (gemeinsamer Schlüssel aus Diffie-Hellman), um das Chiffrat
<code>c=i * m mod p = 14 * 8 mod 23 = 20</code> zu bestimmen. Dann sendet der Sender den Geheimtext welcher aus den Tupel <code>(b,c)=(21,20)</code> besteht an den Empfänger.

Der Empfänger berechnet zunächst <code>inv(k)=b^(p-1-k) mod p = 21^(22-5) mod 23 = 5</code> und anschließend entschlüsselt er den Geheimtext mit <code>m=inv(k) * c mod p = 5 * 20 mod 23 = 8</code>. Somit gilt <code>m=m -> 8=8</code>. Die Ver- und Entschlüsselung der Nachricht <code>m</code> war erfolgreich. Jetzt könnte der Empfänger noch dem Sender antworten. Dafür benötigt er den Public-Key des Senders und dieser Prozess wiederholt sich.

* Quelle
Tsiounis, Yiannis; Yung, Moti. On the Security of ElGamal Based Encryption. 1998. pp. 119 und 120.
https://www.researchgate.net/publication/221010812_On_the_Security_of_ElGamal_Based_Encryption
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